Categorías
Aula Textos

Eratòstenes i la grandària de la Terra – Resposta

En el segle II Eratòstenes va arribar a calcular la grandària de la Terra amb una precisió admirable a partir de la diferència de les ombres en Alexandria i l’antiga Siena i el coneixement de la distància que les separava. Es tracta d’un fet suggerent que permet plantejar alguns exercicis a l’aula de Secundària.

ERATÒSTENES I LA GRANDÀRIA DE LA TERRA
La Terra és una esfera. Hem vist fotografies del nostre planeta fetes des de l’espai i no podem evitar una sensació especial quan contemplem la imatge redona, blava i blanca de la Terra. Sembla un món menut, fràgil. És una imatge recent, moderna, que ha canviat la nostra percepció del lloc on vivim.

Va haver-hi en el segle II de la nostra era un savi d’Alexandria anomenat Eratòstenes que va arribar a calcular el diàmetre terrestre amb una precisió admirable. Eratòstenes es va assabentar que, a la mateixa hora, els rajos del sol queien verticals a Siena (l’actual Assuan) i en canvi queien inclinats a Alexandria. No va necessitar més que uns mesuraments acurats i els seus coneixements de geometria. Però la tasca no era fàcil del tot: contractà un conductor de carro amb l’encàrrec de fer la medició de la distància entre Alexandria i Siena. Ell mateix va fer la mesura de l’angle de l’ombra d’una columna vertical de la seua ciutat.

Si Eratòstenes haguera tractat simplement de contestar a la pregunta: “és esfèrica la Terra?” la seua resposta haguera pogut ser un monosíl·lab: sí o no. Però a l’època d’Eratòstenes ja feia segles que s’acceptava generalment que la Terra era esfèrica. La gent culta de qualsevol època ho ha sabut sempre.

Eratòstenes cavil·lava un nou mètode per a resoldre el vell problema, volia calcular la grandària de l’esfera terrestre. Per al càlcul va establir el raonament següent: si la Terra és plana, l’ombra serà idèntica en les dos ciutats; però, atés que la Terra és esfèrica, les ombres varien. El Sol es veu tan menut des de la Terra que cap considerar que els rajos solars arriben paral·lels. La inclinació dels rajos a cada ciutat depén llavors de que la Terra és una esfera. La distància entre Alexandria i Siena, al voltant de 800 kilòmetres, era suficient per a que a la mateixa hora que el sol enllumenava l’aigua d’un pou profund de la ciutat de Siena perquè el Sol quedava exactament sobre la seua vertical, les columnes d’Alexandria, més al nord, feien clarament ombres. Quant de menor fora l’esfera terrestre, major seria la diferència entre les ombres. També calia trobar l’oportunitat, que va arribar en forma de comentari quan li van dir que el 21 de juny, el dia del solstici d’estiu, el sol estava damunt de Siena i els objectes verticals de la ciutat no feien ombres.

La creativitat a l’hora de fer preguntes

La hipòtesi que la Terra era esfèrica no va ser original d’Eratòstenes, ni tampoc els coneixements de geometria que va emprar per a elaborar la seua resposta. La verdadera originalitat d’este savi genial va ser emprar diversos coneixements comuns en el seu temps per a resoldre una qüestió que ningú abans havia resolt. Per a trobar la solució no sols va haver-hi de fer càlculs, també hagué de passar d’una pregunta a una altra. De la més fàcil, “què ocorreria amb les ombres si la Terra fora plana?” va passar a preguntar-se “què ocorreria amb les ombres si la Terra fora esfèrica?” i a continuació “com podria mesurar la diferència entre les ombres en dos llocs diferents a la vegada?“ per a passar a preguntar-se ”podria haver-hi alguna relació entre la grandària de la Terra i la diferència entre les ombres?” i “com podria conéixer la grandària de l’esfera terrestre?” i per fi “quina és la grandària de la Terra?

Eratòstenes havia començat amb una simple pregunta. Al principi la seua investigació va canviar d’objectiu diverses vegades. No es va detindre davant de la primera resposta simple sinó que va buscar un resultat molt més valuós, justificat des d’un punt de vista racional i apte per a ser comunicat a la resta de la comunitat científica.

Hi ha qui diu que la impressionant exactitud del seu resultat va ser cosa de sort. El treball té imprecisions. Va considerar que la distància entre Alexandria i Assuan (antiga Siena) era de 800 km quan la distància real es de 729 km i va emprar l’angle 7’2 (7º 12’) quan l’angle correcte és de 7’1º (7º 6’); i, pitjor encara, Alexandria i Assuan no paren al mateix meridià. La seua gran aportació fou imaginar el mètode que podia dur a la solució d’un problema tan antic com la Humanitat.

QÜESTIONS:
a)    Quina pregunta es va plantejar inicialment Eratòstenes?

Eratòstenes volia calcular la grandària de la Terra. Inicialment, va preguntar-se si la diferència angular de les ombres d’Alexandria i Siena podien ajudar-lo a trobar la resposta.

b)    Quina va ser la hipòtesi d’Eratòstenes per a respondre-la?

La terra era esfèrica i per mitjà dels angles de les ombres en dos llocs de distinta latitud era possible conéixer la seua circumferència.
c)    Quina va ser la pregunta que va resoldre Eratòstenes finalment?

Quina és la grandària de la Terra?

d)    Descriu breument el mètode que va emprar.

Succintament va aconseguir conéixer l’angle d’ombra que projectava un pal vertical a Alexandria quan, al mateix temps, a Assuan, un pal vertical no projectava cap ombra.
Va mesurar la distància entre les dos ciutats i, considerant que la Terra era una esfera, va calcular l’angle de la circumferència corresponent a eixa distància, que havia de ser el mateix que l’angle d’ombra del pal d’Alexandria.
A partir d’ací, va raonar que si eixe angle corresponia a la distància entre Alexandria i Assuan, podia calcular per proporcionalitat el distància equivalent als 360º de la circumferència completa de la Terra.

e)    Tenia alguna importància la proximitat de Siena al tròpic de Càncer?

La antiga Siena quedava molt prop del tròpic de Càncer. El Sol es troba sobre la vertical del tròpic de Càncer només un dia a l’any: el dia del solstici d’estiu, que cau normalment el 21 de juny del nostre calendari. Eixe dia els rajos solars podien allumenar la superfície de l’aigua d’un pou vertical de la ciutat.

f)    A partir de les il·lustracions i les dades del text, calcula el radi i la circumferència de la Terra.

El càlcul és senzill i es pot fer com una regla de tres:

L’angle d’incidència dels rajos solar varia 7,2º en 800 km; la variació de 360º (circumferència completa) es produiria en x km.

x = 360 / 7’2 · 800 = 36923 km. (Una aproximació acceptable, la circumferència terrestre té 40000 km).

Cal recordar que estem fent els càlculs amb unitats actuals.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.